正定矩阵的判别及性质
设实对称矩阵\(A\)，如果对于任意的实非零向量\(\pmb{x} \neq 0\)，则矩阵\(A\)是正定的。
正定矩阵的性质和判定方法：
- 对称矩阵\(A\)正定的充分必要条件是\(A\)的n个特征值全为正数；
- 对称矩阵\(A\)正定的充分必要条件是\(A\)合同于单位矩阵\(I\)；
- 对称矩阵\(A\)正定（半正定）的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵\(U\)使\(A=U^TU\)；
- 对称矩阵\(A\)是正定的，则\(A\)的主对角线元素均为正数；
- 对称矩阵\(A\)正定的充分必要条件：\(A\)的n个顺序主子式全大于0。