Gamma分布

指数分布解决的问题是：要等到一个随机事件发生，需要经历多久的时间； Gamma分布解决的问题是：要等到n个随机事件都发生，需要经历多久的时间。

Gamma分布即为多个独立同分布的指数分布变量的和的分布。

指数分布和\(\chi^2\)分布都是Gamma分布的特例。

Gamma分布

概率密度函数为： \[f(x) = \begin{cases} \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}, \quad x > 0 \\ 0, \qquad \qquad \qquad 其他 \end{cases}\]

其中Gamma函数\(\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} dt\)，图像为

当\(x=1\)时， \[\Gamma(1) = \int_0^{+ \infty} e^{-t} dt = 1\] 并且\(\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}\)，根据\(\Gamma(x+1) = x \Gamma(x)\)这一规则可求得其他值。

Gamma分布中的\(\alpha\)为称为形状参数，\(\frac{1}{\beta}\)称为尺度参数。

\[E(X) = \frac{\alpha}{\lambda}, \quad D(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}\]

概率密度函数图像：

Gamma分布的可加性

两个独立随机变量\(X\)和\(Y\)，且\(X \sim Ga(\alpha_1, \beta)\)，\(Y \sim Ga(\alpha_2, \beta)\)，则\(Z = X+Y \sim Ga(\alpha_1 + \alpha_2, \beta)\)，\(X\)和\(Y\)的尺度参数必须相同。

Gamma分布的特殊形式

1. 当形状参数\(\alpha = 1\)时，Gamma分布转化为指数分布；
2. 当\(\alpha = \frac{n}{2}, \beta = \frac{1}{2}\)时，Gamma分布转化为自由度为\(n\)的\(\chi^2\)分布。