指数分布
泊松分布是描述单位时间内随机事件发生次数的概率，而指数分布是描述独立随机事件发生的时间间隔。
指数分布有如下的适用条件：
- \(x\)是两个事件发生的时间间隔，并且\(x > 0\)；
- 事件之间是相互独立的；
- 事件发生的频率是稳定的；
- 两个事情不能发生在同一瞬间。
指数分布公式可以通过泊松分布推导出来：如果事件发生的时间间隔为\(t\)，也就是说在\(t\)时间段内事件发生的次数为0，可推得 \[P(T > t) = P(X = 0) = \frac{(\lambda t)^0}{0!} e^{-\lambda t} = e^{-\lambda t}\] 分布函数为 \[F(x) = F(x \leqslant t) = 1 - e^{-\lambda t}\]
指数分布
概率密度函数： \[f(x) = \begin{cases} \lambda e^{- \lambda x}, \quad x > 0 \\ 0, \qquad \quad x \leqslant 0 \end{cases}\]
其中\(\lambda>0\)是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter），即单位时间内发生事件的次数。
累计分布函数： \[F(x) = \begin{cases}
1 - e^{- \lambda x}, \quad x \geqslant 0 \\
0, \qquad \qquad x < 0
\end{cases}\] 
指数分布的均值为\(\frac{1}{\lambda}\)，方差为\(\frac{1}{\lambda^2}\)。
推导： \[E(X) = \int_{- \infty}^{+\infty} xf(x) dx = \int_0^{+\infty} x \cdot \lambda e^{- \lambda x} dx = \frac{1}{\lambda} \int_0^{+\infty} x \cdot \lambda e^{- \lambda x} d(\lambda x)\] 令\(u = \lambda x\)，得到 \[E(X) = \frac{1}{\lambda} \int_0^{+\infty} u e^{- u} du = \frac{1}{\lambda}\]
\[E(X^2) = \int_0^{+\infty} x^2 \cdot \lambda e^{- \lambda x} dx = \frac{1}{\lambda^2} \int_0^{+\infty} (\lambda x)^2 e^{- \lambda x} d(\lambda x)\] 令\(u = \lambda x\)，得到 \[E(X^2) = \frac{1}{\lambda} \int_0^{+\infty} u^2 e^{- u} du = \frac{1}{\lambda^2} [-2e^{-u} - 2ue^{-u} - u^2e^{-u}]|_0^{+\infty} = \frac{2}{\lambda^2}\] \[D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{2}{\lambda^2} - (\frac{1}{\lambda})^2 = \frac{1}{\lambda^2}\]